Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）求△AOB的面积；
（2）Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．猜想AN与MB的位置关系，并证明．

Answer

（1）首先求出点P在线段AB上，进而得出S△AOB=OA×OB=×2 PP1×2PP2，即可得出S△AOB=2 PP1×PP2；
（2）首先求出△AON∽△MOB，再利用平行线的判定定理，得出即可．
【解析】
（1）点P在线段AB上．理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径
∴点P在线段AB上．…（2分）
过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，
由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，
∴S△AOB=OA×OB=×2 PP1×2PP2=2 PP1×PP2
又∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一 点，
∴PP1×PP2=xy=12
∴S△AOB=2 PP1×PP2=24．…（4分）

（2）猜想：AN∥MB…（1分）
如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON=S△AOB=24．
∴OA•OB=OM•ON．
∴．
又∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB…（3分）