Question

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．
（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有______，请选择一个你认为正确的结论进行证明．
（2）若MC=，求BF的长．

Answer

（1）①②③，选择②进行证明．连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM=EF=MD．运用“SSS”证明△BCM≌△DCM，得∠BCM=∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD；
（2）过点M作MQ⊥BC于点，构建直角三角形BEF的中位线MQ；根据正方形对角线的性质推知∠MCQ=45°；然后利用锐角三角函数求得MQ=1；最后根据三角形中位线定理求得BF的长．
【解析】
（1）①②③．
②MC垂直平分BD，
证明如下：连接BM、DM．
∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠DCE=90°，AD=CD；
又∵AF=EC（已知），
∴△AFD≌△CED．（SAS）
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE．
∴∠FDE=∠ADC=90°．
∵M是EF的中点，
∴MD=EF；
∵BM=EF，
∴MD=MB=PC．
又 DC=BC，MC是公共边，
∴△DCM≌△BCM，（SSS）
∴∠BCM=∠DCM，即DP平分∠ADC，
∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，
∴MC垂直平分BD；

（2）过点M作MQ⊥BC于点．
由（1）知，CM即BD的中垂线，
∴∠MCQ=45°；
又∵点M是EF的中点，
∴MQ是直角三角形EFB的中位线，
∴MQ=BF；
又∵MC=
∴MQ=1，
∴BF=2MQ=2．