Question

如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

Answer

（1）求抛物线的解析式可利用待定系数法，关键在于确定点D、C的坐标．在等边△DAB中，已知边长，容易求出点D到x、y轴的距离，据此可得点D的坐标．而将点D向右平移6个单位就能得到点C的坐标，则此问可解．
（2）菱形的对角线互相垂直平分，那么连接AC后，则有AC⊥DB，若PQ⊥DB，必须满足PQ∥AC，显然当点P在BC上时是不会符合该条件的，那么只有P在CD上这一种情况．此时，四边形PCAQ是平行四边形，由对边相等（即PC=AQ）列等式即可求出t值．
（3）此问应分作两段分析：
①P在CD上，此时AQ∥DP，有△DEP∽△AEQ，利用对应边成比例可求出AE、DE的比例关系，由此得到y的表达式；
②P在BC上，此时AE∥PB，有△QEA∽△QPB，解题思路同①，利用相似三角形的性质得到y的表达式．
（4）要注意两条关键线：直线BD、抛物线的对称轴；若使得四边形FMNG的周长最小，可先作F、G分别关于直线BD、抛物线对称轴的对称点F′、G′，连接F′G′后，与BD、对称轴的交点就是符合条件的M、N，那么四边形的最小周长即为F′G′+FG．
【解析】
（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA•sin∠DAB=3；
∴D（3，3）；
由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：
，解得
∴抛物线解析式为：y=-x2+x．

（2）如图1，连接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，那么P在BC上时不存在符合要求的t值，
当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四边形PCAQ是平行四边形，
则PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如图1，当点P在DC上，即0≤t≤3时，
有△EDP∽△EAQ，
则===，
那么AE=AD=2，即y=2；
②如图2，当点P在CB上，
即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，
则=，即=，
得y=，
综上所述：y=，

（4）如图3，作点F关于直线DB的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作点G关于抛物线ADC对称轴的对称点G′，
易求DG′=4，
连接F′G′交DB于点M、交对称轴于点N，点M、N即为所求的两点．
过F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F′D=1；
则：F′H=F′D•sin60°=，HD=F′D•cos60°=，HG′=HD+DG′=．
用勾股定理计算得F′G′=，所以四边形FMNG周长最小为F′G′+FG=+1．