Question

如图，已知点A（-3，5）在抛物线y=x²+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向正方向运动，连接AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连接AQ、BQ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？
（3）试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．

Answer

（1）把点A（-3，5）代入抛物线y=x2+c，即可求出c的值，从而得二次函数解析式；
（2）根据P为动点以及A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，可证△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，然后根据相似三角形的性质解答；
（3）根据AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等，分三种情况讨论：①AC=BD，AP=BP时，根据轴对称的性质解答；②AC=AP时，利用勾股定理结合一次函数解析式解答．
【解析】
（1）把A（-3，5）代入得：5=×9+c，
∴c=．
（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，过点Q作QN⊥BD于点N，
可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=，MQ=3，
∴．
设B（3k，2k+），
代入抛物线解析式得：k=，即B（，）．
∴直线AB的解析式为：．
∴OP=，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．
∴对应的时刻t为：2或．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．
②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+（y-5）2=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．
此时，直线AP解析式为：．
与抛物线的交点B为（，），
∴PB==BD．
∴满足条件的时刻为：和4．