Question

如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）设点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．

Answer

（1）由抛物线的解析式即可得出其对称轴方程，再把点C（0，-3）代入抛物线的解析式即可求出k的值；
（2）由两点之间线段最短可知当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小，再由P点要在对称轴上，可知P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，由（1）中求出的C点坐标即可得出抛物线的表达式，故可求出A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，把x=-1代入即可求出P点坐标；
（3）由于线段AB为定值，所以当B点在抛物线的顶点上△ABM的面积最大，由A、B、M三点的坐标即可得出AB及BD的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】
（1）∵抛物线的解析式为：y=（x+1）2+k，
∴其对称轴为：直线x=-1．
∵抛物线y=（x+1）2+k过点C（0，-3），
∴-3=（0+1）2+k，解得k=-4；

（2）如图，∵两点之间线段最短，
∴当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P点要在对称轴上，
∴P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，
由（1）可知，抛物线的表达式为：y=（x+1）2-4=x2+2x-3．
令y=0，则x2+2x-3=0．
解得：x1=-3，x2=1．
∴点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0），
设直线AC的表达式为y=kx+b，则
解得 
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2．
∴此时点P的坐标为（-1，-2）；

（3）依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大．
∵抛物线表达式为y=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4），即MD=4，
∴点M的坐标为（-1，-4），
∴△AMB的最大面积S△AMB=AB•MD=×（3+1）×4=8．