Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0），且x₂-x₁=5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得△DBO是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出点D的坐标，并判断这个等腰三角形是否为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；
（3）连接AB，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b；
（2）作BC的中垂线，则与抛物线的交点即是要找的位置，然后验证△DBO是否为等腰三角形．
（3）根据A、B的坐标可得出直线AB的解析式，然后可得出点E及点H的纵坐标，继而可表示出h的长度．
【解析】
（1）∵抛物线经过A（0，-4），
∴c=-4，
又∵x1、x2是方程-x2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=b，x1x2=-c，
由已知得：（x2-x1）2=25，
又（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=b2-24=25，
解得：b=±，
当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=-，
故抛物线的解析式为：．
（2）由抛物线解析式可得：点B坐标为：（-6，0），则D是直线x=-3与抛物线的交点，即可得点D坐标为：（-3，4），
此时BO上的高等于4，而BO=6，即BO上的高不等于斜边BO的一半，
故△OBD不是等腰直角三角形．
（3）由抛物线解析式可得点A（-1，0），点B（-6，0），
故可得直线AB的解析式为：y=-x-4，
则可得：点E的纵坐标为：-x-4，点H的纵坐标为：-x2-x-4，
则（-6＜x＜0）．