Question

在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A₁开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1条线段．设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，则∠A=    °；若记线段A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数），如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，则此时a₂=    ，a_n=    （用含n的式子表示）．

Answer

由题意得到△A1A2A3为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到∠A2A1A3=45°，再由∠A2A1A3为等腰△AA2A1的外角，利用外角性质即可求出∠A的度数；由△A1A2A3为等腰直角三角形，A1A2=A2A3=1，利用勾股定理求出A1A3的长，由AA1+A1A3求出AA3的长，即为A3A4的长，可得出a2的长；同理求出a3的长，依此类推即可得出an的长．
【解析】
∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴△A1A2A3为等腰直角三角形，
∴∠A2A1A3=45°，
又AA1=A1A2，
∴∠A=∠AA2A1，
又∠A2A1A3为△AA2A1的外角，
∴∠A=∠AA2A1=∠A2A1A3=22.5°；
∵AA1=A1A2=A2A3=1，
∴A1A2=a1=1；
在Rt△A1A2A3中，根据勾股定理得：A1A3=，
∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3=1+；
同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5=1++（1+）=3+2=（1+）2；
以此类推，an=（1+）n-1．
故答案为：22.5°；1+；（1+）n-1．