Question

如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，对角线AC⊥CB，若AD=2，AC=，cosB=．试求四边形ABCD的周长．

Answer

在Rt△ADC中，利用勾股定理求得DC=4；在Rt△ACB中，利用余弦三角函数的定义求得BC：AB=5：3，由此设BC=3x，AB=5x，所以根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程即可求得x的值，即BC、AB的值；最后根据四边形的周长公式来求四边形ABCD的周长．
【解析】
在四边形ABCD中，
∵AD⊥DC，对角线AC⊥CB，
∴∠ACB=∠D=90°．
∴△ADC和△ACB都是直角三角形．
在Rt△ADC中，∵AD=2，AC=，
∴由勾股定理，得
DC=4．
在Rt△ACB中，∵=cosB=，
∴设BC=3x，AB=5x．
∴由勾股定理 得AB2-BC2=AC2，即25x2-9x2=20．
解得x=，或x=-（不合题意，舍去），
∴BC=3x=，AB=2x=．
∴四边形ABCD周长为：AB+BC+CD+DA=4+6．