Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

Answer

（1）在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，根据正方形性质得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，证△ABE≌△ADN推出AE=AN；∠EAB=∠NAD，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME=MN即可；
（2）在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．
【解析】
（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN=MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE=AN；∠EAB=∠NAD，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠BAM+∠EAB=45°=∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=BE+BM=DN+BM，
即DN+BM=MN；

（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN．
证明：如图3，在DN上截取DE=MB，连接AE，
∵由（1）知：AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）． 
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN．