Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
（1）求a的值及对称轴方程；
（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连接PA．设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．

Answer

（1）根据抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），把A（-1，0）代入求出a的值，进而求出抛物线的对称轴方程；
（2）首先求出直线AB的解析式，求出点P的坐标为（2，m），点D的坐标为（，m），然后结合三角形的面积公式求出S与m的函数关系式；
（3）作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0），最短距离即可求出．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），
∴a=-1．
∴对称轴方程为，

（2）∵点A为（-1，0），点B为（2，9），
∴直线AB的解析式为y=3x+3．
依题意知点P的坐标为（2，m）．
∴点D的坐标为（，m）．
∴S=PD•|m|=（2-+1）•|m|=（-）•|m|
故S与m的函数关系式为，

（3）如图：作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，
连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．
则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0）；
最短距离为．