Question

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．
（1）求证：PA²=PB•PC；
（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的长．

Answer

（1）连接AB、AC、BO、AO，可证得△PAB∽△PCA，则，即PA2=PB•PC
（2）由PA2=PB•PC，同理得，PA2=PD•PE，可证得PD•PE=PB•PC，根据题意可求得PD，即得出DE的长．
【解析】
（1）连接AB、AC、BO、AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，（1分）
又∵2∠BAO+∠O=180°，
∴∠PAB=∠O，
∵∠C=∠O，
∴∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCA，（4分）
∴，
即PA2=PB•PC．（5分）

（2）∵PA2=PB•PC，
同理，PA2=PD•PE，
∴PD•PE=PB•PC，（7分）
且PB=BC=4，PE=6，
∴，（9分）
即DE=PE-PD=6-=．（10分）