Question

如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB=，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据直线y=kx+3与y轴分别交于B点，以及tan∠OAB=，即可得出A点坐标，从而得出一次函数的解析式；
（2）根据△AOC的面积是6，得出三角形的高，即可求出C点的坐标；
（3）利用△BCD与△AOB全等，利用C点不同位置，得出3种不同图形，进而利用相似，得出C点横、纵坐标，进而得出C点坐标．
【解析】
（1）∵直线y=kx+3与y轴分别交于B点，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直线y=kx+3过A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（2）∵A（4，0），
∴AO=4，
∵△AOC的面积是6，
∴△AOC的高为：3，
∴C点的纵坐标为3，
∵直线的解析式为：y=-x+3，
∴3=-x+3，
x=0，
∴点C运动到B点时，△AOC的面积是6（C是与A、B不重合的动点，所以不符合题意）；
当C点移动到x轴下方时，作CE⊥x轴于点E，
∵△AOC的面积是6，
∴EC×AO=6，
解得：EC=3，
∴C点纵坐标为：-3，
∴C点横坐标为：-3=-x+3，
∴x=8，
∴点C点坐标为（8，-3）时，△AOC的面积是6；

（3）当过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，
且CD⊥y轴于点D时，BD=BO=3，△BCD与△BAO全等，
∴C点纵坐标为6，
∴6=-x+3，
解得：x=-4，
∴C点坐标为：（-4，6）．
当过点D作DC⊥AB于点C，作CF⊥x轴，
当CB=3，BD=5，△BCD与△BOA全等，
∴BO∥CF，
∴==，
∴==，
解得：FO=，CF=，
∴C点坐标为：（-，）．
当D′C′⊥AB，过点C′作C′M⊥OA，
∴BC′=3，
∴AC′=2，
∵C′M∥BO，
∴==，
∴==，
∴C′M=，AM=
∴MO=，
∴C′点坐标为：（，）．
综上所述：C点坐标为：（-4，6），（-，），（，）．