Question

在△ABC中，AB=AC=5，∠A是锐角，sinA=，
（1）如图1，作BD⊥AC垂足为D，求BD、BC的长：
（2）如图2，小明同学过点A作AE⊥BC垂足为E，他发现直线AE平分△ABC的周长和面积，他想是否还存在其它平分△ABC的周长和面积的直线？请你参与小明的探究，如果存在，请说明理由，同时指出有几条直线．（注：备用图不够用可以重新画图）

Answer

（1）由BD垂直于AC，得到三角形ABD为直角三角形，根据AB及sinA的值，利用锐角三角函数定义求出BD及AD的长，再由AC-AD求出DC的长，在直角三角形BDC中，利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线，理由为：若直线经过B（或C）点，由直线平分△ABC的面积，则直线必经过AC（或AB）的中点，而此时直线必不平分△ABC的周长，故直线不经过△ABC的顶点，分两种情况考虑：（i）直线与AB（或AC）、BC相交，设直线与AB、BC相交于点D、E，过A、D分别作BC的垂线，垂足为F、H点，如备用图1所示，假设DE平分三角形的周长，设BD=5k，则DF=4k，BE=8-5k，利用三角形的面积公式表示出BDF的面积，根据此三角形面积为三角形ABC面积的一半列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，过D、E的直线就是所求的，同理AC，BC相交的直线也存在一条；（ii）直线与AB，AC相交，设直线与AB，AC分别交于D，E，过D作DF⊥AC，垂足为F点，如备用图2所示，设AE=x，则AD=8-x，根据三角形ADE的面积为三角形ABC面积的一半列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，经判断不合题意，舍去，综上，得到满足题意的直线有2条．
【解析】
（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD中，AB=AC=5，sinA=，
∴BD=ABsinA=5×=，
∴根据勾股定理得：AD==，
∴DC=AC-AD=5-=，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==6；
（2）还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线，理由为：
若直线经过B（或C）点，由直线平分△ABC的面积，则直线必经过AC（或AB）的中点，
而此时直线必不平分△ABC的周长，故直线不经过△ABC的顶点，
分两种情况考虑：
（i）直线与AB（或AC）、BC相交，设直线与AB、BC相交于点D、E，过A、D分别作BC的垂线，垂足为F、H点，
如备用图1所示：
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=3，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AH==4，
∴∠DFB=∠AHB=90°，又∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAH，
∴BF：FD：BD=BH：AH：AB=3：4：5，
又∵三角形ABC的周长为5+5+6=16，
∴BD+BE=8，
设BD=5k，则DF=4k，BE=8-5k，
∴S△BDE=S△ABC=BC•AH=6，即BE•DF==6，
整理得：5k2-8k+3=0，
解得：k=或k=1（舍去），
这时在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，过D、E的直线就是所求的，
同理AC，BC相交的直线也存在一条；
（ii）直线与AB，AC相交，设直线与AB，AC分别交于D，E，过D作DF⊥AC，垂足为F点，
如备用图2所示：
设AE=x，则AD=8-x，
∵在Rt△ADF中，sinA=，
∴DF=ADsinA=（8-x），
当S△AED=AE•DF=•x•（8-x）=6，
整理得：2x2-16x+25=0，
解得：x1=4+＞5（舍去），x2=4-，
则AD=8-x=4+＞5（不合题意，舍去），
综上，还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线．