Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=    ．

Answer

如图，因为∠C=90°，易得AB=10；又因为⊙O为△ABC的内切圆，易得四边形OFCG是正方形，设半径为x，列方程即可求得；进一步设AE=y，根据三角形内切圆的性质，即可求得y的值，则易得tan∠ODA．
【解析】
连接OE，OF，OG；
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，AF=AE，CF=CG，
∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°；
∵∠C=90°，
∴四边形OFCG是矩形，
∵OG=OF，
∴四边形OFCG是正方形；
设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6-x，BE=BG=8-x，
∴6-x+8-x=10，
∴OF=2，
∴AE=4；
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD=AB=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴tan∠ODA==2．