Question

如图1，在▱ABCD中，AD=a，AB=a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．
（1）求∠DAB的范围；
（2）如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径（如图2所示），请你验证此时∠DAB的度数在第（1）问所求的范围内，并证明：此时点F恰好是DC的一个三等分点．

Answer

（1）连接DB，当F与D重合时，即CD与圆相切，根据平行四边形的性质推出∠DAB=∠DBA，求出等腰三角形DAB，求出∠DAB的度数即可；
（2）求出cos∠DAB的值，即可推出∠DAB的大小；根据CD和CF的长，根据DF=CD-CF，代入求出即可．
（1）【解析】
连接DB，
当F与D重合时，此时CD与圆相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底为根号a，腰为a
∴cos∠DAB==，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范围为：30°＜∠DAB＜90°．

（2）【解析】
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r=AB=a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB===，
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范围内．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=a-2a×=a=AB=CD，
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点．