Question

如图：直线y=-x+4m（常数m＞0）交x轴于A点、交y轴于B点，四边形AOBC是以OA、OB为边的梯形，OA∥BC．将梯形AOBC逆时针旋转90°到A₁OB₁C₁，连接B₁C交y轴于D．（如图）
（1）请指出A₁、B₁的坐标．（用含m的代数式表示）
（2）当A₁DB₁C₁为平行四边形时，求C点的坐标．（用含m的代数式表示）
（3）若抛物线y=ax²+bx+c在（2）的条件下过A、B、C三点且与线段B₁C另一交点为E，连接A₁E，求：S_△A1DE：S_{四边形AOBC}的值．

Answer

（1）令y=0求出x的值，得到点A的坐标，令x=0，求出y的值得到点B的坐标，再根据旋转的性质即可得到点A1、B1的坐标；
（2）设BC=x，根据旋转变换的性质可得B1C1=x，再根据平行四边形的对边相等可得A1D=x，然后求出△BCD和△B1OD相似，根据相似三角形对应边成比例列式用x表示出BD，再根据A1D=A1B+BD，代入数据得到关于x的方程，解方程即可得到点C的坐标；
（3）利用待定系数法求函数解析式，分别求出直线B1C与抛物线的解析式，然后联立求出点E的坐标，再根据三角形的面积公式求出△A1DE的面积，利用梯形的面积公式求出四边形AOBC的面积，然后相比即可得解．
【解析】
（1）令y=0，则-x+4m=0，解得x=6m，
令x=0，则y=4m，
所以，点A（6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆时针旋转90°到A1OB1C1，
∴OA1=0A=6m，OB1=OB=4m，
∴A1（0，6m），B1（-4m，0）；

（2）设BC=x，根据旋转的性质，B1C1=x，
∵四边形A1DB1C1为平行四边形，
∴A1D=B1C1=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B1OD，
∴=，
即=，
解得BD=，
又∵A1D=A1B+BD，
∴x=（6m-4m）+，
整理得，x2-2mx-8m2=0，
解得x1=-2m，x2=4m，
∵常数m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C点坐标为（4m，4m）；

（3）设直线B1C解析式为y=kx+b，
∵B1（-4m，0），C（4m，4m），
∴，
解得，
∴直线B1C：y=x+2m，
∵A（6m，0），B（0，4m），C（4m，4m），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4m，
联立，
解得，（为点C坐标），
∴点E坐标为（-m，m），
∴S△A1DE=×4m•m=3m2，S四边形AOBC=（4m+6m）×4m=20m2，
∴S△A1DE：S四边形AOBC=（3m2）：（20m2）=．