Question

如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP•OP′=r²，这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点，⊙O称为基圆．
（1）如图2，⊙O内有不同的两点A、B，它们的反演点分别是A′、B′，则与∠A′一定相等的角是______
（A）∠O         （B）∠OAB        （C）∠OBA           （D）∠B′
（2）如图3，⊙O内有一点M，请用尺规作图画出点M的反演点M′；（保留画图痕迹，不必写画法）．
（3）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．已知基圆O的半径为r，另一个半径为r₁的⊙C，作射线OC交⊙C于点A、B，点A、B关于⊙O的反演点分别是A′、B′，点M为⊙C上另一点，关于⊙O的反演点为M′．求证：∠A′M′B′=90°．

Answer

（1）先证明△AOB∽△B′OA′，然后根据相似三角形的对应角相等可以推知∠A′=∠OBA；
（2）根据射影定理来找点M′；
（3）根据相似三角形△OMA∽△OA′M′的对应角相等推知∠OMA=∠OB′M′、根据相似三角形△OBM∽△OM′B′的对应角相等推知∠OMB=∠OM′B′，则∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，∠BMA=∠A′M′B′，即∠A′M′B′=90°．
【解析】
（1）∵⊙O内有不同的两点A、B，它们的反演点分别是A′、B′，
∴=；
又∵∠O=∠O，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠OBA；
故答案是：（C）；

（2）过M作MN⊥OM交⊙O于点N，连ON．过N作NM'⊥ON交射线OM于点M'．点M'即为所求．如图所示：

（3）证明：连BM、AM．
∵AB是⊙C直径，
∴∠BMA=90°；
∵∠OA′M′是△A′M′B′的外角，
∴∠OA′M′-∠A′B′M′=∠A′M′B′；
∵点A、M关于⊙O的反演点分别是A′，M′．
∴OA•OA′=r2=OM•OM′，
∵∠O=∠O，
∴△OMA∽△OA′M′，
∴∠OMA=∠OA′M′，
同理：∠OMB=∠OB′M′，
由等式性质知：∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′，
∴∠BMA=∠A′M′B′即∠A′M′B′=90°．