Question

在研究勾股定理时，同学们都见到过图1，∠CBA=90°，四边形ACKH、BCED、ABFG都是正方形．
（1）连接BK、AE得到图2，则△CBK≌△CEA，此时两个三角形全等的判定依据是______；过B作BM⊥KH于M，交AC于N，则S_矩形KMNC=2S_△CKB；同理S_{正方形BCED}=2S_△CEA，得S_{正方形BCED}=S_矩形KMNC，然后可证得勾股定理．
（2）在图1中，若将三个正方形“退化”为正三角形，得到图3，同学们可以探究△BCD、△ABG、△ACK的面积关系是______．
（3）为了研究问题的需要，将图1中的Rt△ABC也进行“退化”为锐角△ABC，并擦去正方形ACKH得图4，由AB、BC两边向三角形外作正△BCD、正△ABG，△BCD的外接圆与AD交于点P，此时C、P、G共线，从△ABC内一点到A、B、C三个顶点的距离之和最小的点恰为点P（已经被他人证明）．设BC=3，CA=4，∠BCA=60°．求PA+PB+PC的值．
 

Answer

（1）利用全等三角形的判定SAS得出即可；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S△BCD，S△ABG，S△ACK，然后根据AC2=BC2+BA2即可得出S△BCD，S△ABG，S△ACK的关系；
（3）首先证明△BPC≌△BED（AAS），进而得出QC的长，再利用勾股定理得出AD的长．
【解析】
（1）利用BC=EC，∠KCB=∠ECA，AC=CK，得出△CBK≌△CEA（SAS）；
故答案为：SAS；

（2）∵S△ABG=GE×AB=×AB×AB=AB2，S△BCD=BC•DM=×BC×BC=BC2，
S△ACK=AC×NK=×AC×AC=AC2，
∴S△BCD+S△ABG=S△ACK，
故答案为：S△BCD+S△ABG=S△ACK；

（3）在PD上截取PE=PB，连BE，延长AC作DQ⊥AC于点Q，
∵△BCD为正三角形，BD=BC=CD=3．
∴∠BPD=60°，∠CPD=60°．
∴△PBE为正三角形
∴PB=PC=BE，∴∠BEP=60°
∴∠BED=180°-∠BEP=180°-60°=120°．
∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+60°=120°．
在△BPC和△BED中，
∵
∴△BPC≌△BED（AAS），
∴PC=DE，
∴PA+PB+PC=PA+PE+ED=AD，
在△CDA中，CD=3，CA=4，∵∠DCA=∠DCB+∠BCA=120°．
∴∠DCQ=60°，
∴∠QDC=30°，
∴CQ=CD=×3=，QD=，
∴AQ=4+=，
∴AD==．
即PA+PB+PC=．