Question

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：
①∠ABP=∠AOP；②=；③AC平分∠PAB；④2BE²=PE•BF，
其中结论正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

首先连接OB，根据切线长定理得PA=PB，∠APO=∠BPO；易证得△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP，即=；再根据这些基础条件进行判断．
【解析】
连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO；
又PO=OP，
∴△APO≌△BPO，
∴∠AOP=∠BOP，
∴=；
①∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA=∠AFB，
由=，得∠AFB=∠AOP，
∴∠PBA=∠AOP；
故①正确；
②∵∠AOC=∠BOC=∠FOD，
∴==；
故②正确；
③同①，可得∠PAB=∠AOC；
∵=，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠EAC=∠BOC=∠AOC，
∴∠EAC=∠PAB，
∴AC平分∠PAB；故③正确；
④在△PEB和△ABF中，
，
∴△PEB∽△ABF，
∴BE：PE=BF：AB=BF：2BE，即2BE2=PE•BF，
故④正确；
综上所述，正确的结论共有4个；
故选D．