Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN．在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，待定系数法求出a、b和c的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，先求出B点的坐标，设直线BP的解析式为y=kx+m，根据题意求出直线的解析式，设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，若四边形OPBD为等腰梯形，则（-2x）2+（6-x）2=32，解出x的值，D点的坐标即可求出；
（3）当0＜t≤2时，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函数的性质求出此区间函数的最值；当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，根据三角形相似，求出S△P1EF=3t2-12t+12，列出S和t的关系式，求出S最大值．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得，
解得，
故抛物线的解析式为y=-x2+8x-12，点P的坐标为（4，4）；

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
则x1=2，x2=6，
则点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m，
则，
解得，
则直线BP的解析式为y=-2x+12，
则直线OD∥BP，
∵顶点坐标为P（4，4），
∴OP=4，
设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，
当BD=OP时，（-2x）2+（6-x）2=32，
解得x1=，x2=2，
当x2=2时，OD=BP=2，四边形OPBD是平行四边形，舍去，
当x=时四边形OPBD为等腰梯形，
故当D（，-）时，四边形OPBD为等腰梯形；

（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个长度单位，运动时间为t秒，则MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=t，
∴MN=t，
∴S=t•t•=t2，
当t=2时，S有最大值=3，

②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB，
∴△P1EF∽△P1MN，
∴=（）2，
∴=（）2，
∴S△P1EF=3t2-12t+12
∴S=t2-（3t2-12t+12）=-（t-）2+4，
当t=时，S有最大值=4，
因为4＞3，
故S存在最大值，S的最大值为4．