Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-2），以点A为圆心、AO为半径画圆，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于B、C两点，点E是x轴上的一个动点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）直线CE与⊙O有哪几种位置关系？
（3）当直线CE是⊙O的切线时，求点E的坐标．

Answer

（1）对于y=-x+4，令y=0，则x=4；令x=0，则y=4，即可得到B点和C点坐标；
（2）根据直线与圆的三种位置关系进行回答；
（3）分类讨论：设直线CE与⊙O相切于点P（点P在第四象限），交x轴于点E，连接AP，根据切线的性质得到AP⊥CP，先得到OC=4，OA=2，再利用勾股定理计算出PC=4，根据相似三角形的判定方法得到Rt△COE∽Rt△CPA，则OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，可求出OE=，E点坐标为（，0），当⊙O的切线为CP′，P′为切点，CP′与x轴的交点为E′，然后根据切线长定理得到
CO垂直平分EE′，则点E′的坐标为（-，0），即可得到满足条件的点E的坐标为（，0），（，0）．
【解析】
（1）在直线y=-x+4中，
令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4）；

（2）直线CE与⊙O有相离、相切、相交三种位置关系；

（3）设直线CE与⊙O相切于点P（点P在第四象限），交x轴于点E，连接AP，如图，则AP⊥CP，
∵点C的坐标为（0，4），A点坐标为（0，-2），
∴OC=4，OA=2，
在Rt△CAP中，AC=OA+OC=6，AP=OA=2，PC==4，
∵∠ECO=∠ACP，
∴Rt△COE∽Rt△CPA，
∴OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，
∴OE=，
∴E点坐标为（，0），
当⊙O的切线为CP′，P′为切点，CP′与x轴的交点为E′，则CA平分∠PCP′，则CO垂直平分EE′，则点E′的坐标为（-，0），
∴点E的坐标为（，0），（，0）．