Question

如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB=5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由A（6，0），AB=5OB，即可求得点B的坐标，又由点A，B，C在抛物线上，利用待定系数法求二次函数的解析式，然后利用配方法求得顶点坐标；
（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OAE=2××OA•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：-4x2+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形；
（4）由当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，可得此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，故可判定不存在点E，使平行四边形OEAF为正方形．
【解析】
（1）∵点A（6，0），AB=5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则由题意可得：，
解之得，
∴所求抛物线的解析式为：y=x2-x+4，
∵y=x2-x+4=（x-）2-，
∴所求抛物线的顶点坐标为：（，-）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=x2-x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=-6y=-6（x2-x+4）=-4x2+28x-24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；

（3）根据题意得：-4x2+28x-24=24，
解之，得x1=3，x2=4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，-4），E2（4，-4），
∵点E1（3，-4），
∴OE=5，AE==5，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，-4），
∴OE=4，AE==3，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；

（4）∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．