Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-．

Answer

（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由抛物线的与y轴交于点C，即可求得点C的坐标，由对称性可求得D点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），
∴，
解得：．
故抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．

（2）存在．
∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为：x=-=1，
∴根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，
此时，AC=BD，BC=AD，
在△ABC和△BAD中，
∵，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y=x2-2x-3中，令x=0，
得y=-3，
则C（0，-3），D（2，-3）．