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如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,...

如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos∠ABD=manfen5.com 满分网,AD=12.
(1)求证:△ANM≌△ENM;
(2)求证:FB是⊙O的切线;
(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.

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(1)利用角平分线的性质定理,可以得出AM=ME,∠AMN=∠EMN,再利用SAS可证出:△ANM≌△ENM (2)利用相似三角形的判定可证出△ABF∽△ACB,从而得出∠ABF=∠C,那么可以得到∠CBF=90° (3)利用(1)中的结论先证出∠AMN=∠ANM,可以得到AM=ME=EN=AN,从而得出四边形AMEN是菱形,再求出△BND∽△BME,利用比例线段可求出ME的长,再利用菱形的面积公式可计算出菱形的面积. (1)证明:∵BC是⊙O的直径, ∴∠BAC=90°. 又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC, ∴AM=ME,∠AMN=∠EMN. 又∵MN=MN, ∴△ANM≌△ENM. (2)证明:∵AB2=AF•AC, ∴. 又∵∠BAC=∠FAB=90°, ∴△ABF∽△ACB. ∴∠ABF=∠C. 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°, ∴FB是⊙O的切线. (3)【解析】 由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN, 又∵AN∥ME, ∴∠ANM=∠EMN, ∴∠AMN=∠ANM, ∴AN=AM, ∴AM=ME=EN=AN. ∴四边形AMEN是菱形. ∵cos∠ABD=,∠ADB=90°, ∴. 设BD=3x,则AB=5x, 由勾股定理AD==4x; ∵AD=12, ∴x=3, ∴BD=9,AB=15. ∵MB平分∠AME, ∴BE=AB=15, ∴DE=BE-BD=6. ∵ND∥ME, ∴∠BND=∠BME. 又∵∠NBD=∠MBE, ∴△BND∽△BME. ∴. 设ME=x,则ND=12-x,,解得x=. ∴S=ME•DE=×6=45.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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