Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．BD与CE相交于H，在BD上取一点M，使BM=CH．
（1）求证：∠BOC=∠BHC； 
（2）若OH=1，求MH的长．

Answer

（1）利用圆周角定理、四边形内角和是360°即可求得∠BOC=2∠BAC=120°，∠DHE=120°；
（2）利用全等三角形△BOM≌△COH的对应边、对应角相等可以推知OM=OH、∠COH=∠BOM，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理可以求得∠OHM=（180°-120°）=30°；然后通过作辅助线OP构建直角△OHP，利用勾股定理即可求得OH与MH间的数量关系．
（1）证明：∵∠BAC=60°（已知），
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BHC=∠DHE（对顶角相等），
∠DHE=360°-（90°+90°+∠BAC）=120°（四边形的内角和定理），
∴∠BOC=∠BHC；

 （2）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∠BOC=120°，
∴∠OBC=（180°-120°）=30°，而∠HBC=90°-∠BCA，
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-（90°-∠BCA）=∠BCA-60°，
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-（180°-120°）=∠HCB-30°，但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH；    
∵已知BM=CH，OB=OC，
∴△BOM≌△COH．
∴OH=OM，且∠COH=∠BOM；
∴∠OHM=∠OMH，∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=（180°-120°）=30°．
 在△OMH中作OP⊥MH，P为垂足，则
OP=OH，由勾股定理，得 
（MH）2=OH2-OP2=OH2-（OH ）2=，
∴MH=．