Question

某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？

Answer

（1）由于售价为60时，每个月卖100件，售价上涨或下调影响销量，因此分为50≤x≤60和60＜x≤80两部分求解；
（2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量x的范围求利润的最大值；
（3）在60＜x≤80，令y=2250，求得定价x的值．
【解析】
（1）当50≤x≤60时，y=（x-40）（100+60-x）=-x2+200x-6400；
当60＜x≤80时，y=（x-40）（100-2x+120）=-2x2+300x-8800；
∴y=-x2+200x-6400（50≤x≤60且x为整数）
y=-2x2+300x-8800（60＜x≤80且x为整数）
（2）当50≤x≤60时，y=-（x-100）2+3600；
∵a=-1＜0，且x的取值在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y有最大值2000；
当60＜x≤80时，y=-2（x-75）2+2450；
∵a=-2＜0，
∴当x=75时，y有最大值2450．
综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
（3）当60＜x≤80时，y=-2（x-75）2+2450．
当y=2250元时，-2（x-75）2+2450=2250，
解得：x1=65，x2=85；
其中，x2=85不符合题意，舍去．
∴当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．