Question

如图，已知边长为2的正方形ABCD，P是BC边上一点，E是BC边延长线上一点，过点P作PF⊥AP与∠DCE的平分线CF交于点F．AF与CD交于点G．
（1）求证：AP=PF；
（2）若AP=AG，试说明PG与CF有怎样的位置关系，并求△APG的面积．

Answer

（1）在正方形ABCD边AB上截取BQ=BP，连接PQ，由正方形的四个角为直角，四条边相等，得到三角形BPQ为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及邻补角定义可得出∠AQP=135°，由CF为直角的平分线，得到∠FCP=135°，可得出一对角相等，再由AB=BC，左边减去BQ，右边减去BP，得到AQ=PC，又AP垂直于PF，得到一个角为直角，再由平角定义得到一对角互余，在直角三角形ABP中，可得出两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA可得出三角形APQ与三角形CFP全等，由全等三角形的对应边相等可得出AP=PF，得证；
（2）PG与CF的位置关系为平行，理由为：由AP=AG，AB=AD，利用HL得出直角三角形ABP与直角三角形ADG全等，利用全等三角形的对应边相等得到BP=DG，再由BC=CD，利用等式的性质得到PC=GC，可得出三角形PCG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到∠GPC=45°，由CF为直角的平分线，得到∠FCE=45°，得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行可得出PG与CF平行；由AP=PF，且AP与PF垂直，得到三角形APF为等腰直角三角形，得到∠PAG=45°，进而得到∠BAP=∠DAG=22.5°，连接AC，可得出AC垂直于PG，由AP=AG，利用三线合一得到AN为角平行，可得出∠NAP=∠NAG=22.5°，可得出三角形APN，三角形APB，三角形ANG，三角形ADG四个三角形全等，可得出AN=AB=2，PG=2BP，设BP=PN=x，在等腰直角三角形PNC中，利用勾股定理表示出PC，由BP+PC=BC列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为BP的长，确定出PG的长，以PG为底，AN为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形APG的面积．
【解析】
（1）证明：在BA边上截取BQ=BP，连接PQ，如图所示：

可得△BPQ为等腰直角三角形，即∠BQP=45°，
∴∠AQP=135°，
又∵CF为直角∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=∠AQP=135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∴AB-BQ=BC-BP，即AQ=PC，
∵PF⊥AP，
∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠CPF=90°，
又∵∠APB+∠QAP=90°，
∴∠QAP=∠CPF，
在△AQP和△PCF中，
∵，
∴△ABP≌△PMF（ASA），
∴AP=FP；

（2）PG与CF有怎样的位置关系是平行，理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
在Rt△ABP和Rt△ADG中，
∵，
∴Rt△ABP≌Rt△ADG（HL），
∴BP=DG，∠BAP=∠DAG，
∴BC-BP=CD-DG，即CP=CG，
∴△PCG为等腰直角三角形，
∴∠GPC=45°，
又∵∠FCE=45°，
∴∠FCE=∠GPC，
∴CF∥GP，
又∵AP=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，即∠PAG=45°，
∴∠BAP=∠DAG=22.5°，
连接AC，如图所示，
可得出CA为∠BCD的平分线，且CP=CG，
∴AC⊥PG，又AP=AG，
∴AN为∠PAG的平分线，
∴∠PAN=∠GAN=22.5°，
显然△ABP≌△ANP≌△ANG≌ADG，
∴AB=AN=AD，BP=PN=GN=GD，
即PG=PN+NG=BP+DG=2BP，
设BP=PN=x，在等腰Rt△PNC中，可得PC=x，
∴BP+PC=2，即x+x=2，
解得：x=2-2，故PG=2x=4-4，
则S△APG=PG•AN=×（4-4）×2=4-4．