Question

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（-1，0），B（3，0），C（0，2），已知动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴上存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于    ．

Answer

因为△ABC的顶点分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，2），动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别交于D，E，要使△DEP为等腰直角三角形，（1）DE=EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）=90°或（2）PD=PE，∠EPD=90°，由直线方程和等腰直角三角形的性质及勾股定理求解．
【解析】
△DEP为等腰直角三角形分两种情况：
（1））DE=EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）=90°时，
设D（x1，m），E（x2，m），
∴=m2，
由已知得CA方程：y=2x+2，
∴x1==-1，
CB方程：y=-x+2，
∴x2=-=-+3，
∴得：4（m-2）2=m2，
解得：m1=，m2=4（与0＜m＜2不符舍去），
∴m=；

（2）PD=PE，∠EPD=90°时，
则=m2，
∴=4m2，
∴4（m-2）2=4m2，
解得：m=1，
综上：当m=或m=1时，△DEP为等腰直角三角形，故答案为：或1．