Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）b=______，c=______；对称轴是直线______；
（2）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先利用直线OA的表达式y=-x，得出点C的坐标为（1，-1），则AB=BC，OA=OC，再根据等腰三角形三线合一的性质得出∠ABO=∠CBO．然后分两种情况进行讨论：①∠BOP=∠BDC，②∠BOP=∠BCD，进而分析得出P点坐标即可．
【解析】
（1）根据题意得：，
解得：，
则所求的二次函数的解析式是：y=-x2+x+2，
对称轴是：x=1；

（2）直线OA的解析式是y=-x，得点C的坐标是（1，-1）．
∵AB=，BC=，
∴AB=BC，
又∵OA=，OC=，
∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．
由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）．
由直线AB的表达式：y=x+，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
①当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4，0）．
②当∠BOP=∠BCD时，
由△BOP∽△BCD，得：=．
而BO=2，BD=，BC=，
∴BP=，
又∵BE=2，
∴PE=，
作PH⊥x轴，垂足是H，BF⊥x轴，垂足是F．
∵PH∥BF，
∴，而BF=2，EF=6，
∴PH=，EH=．
∴OH=．
∴点P的坐标是（，）．
综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（，）．