Question

在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°，M、N分别在线段AB、AC上．
（1）填空：cosC=______

Answer

（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC，②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可．
【解析】
（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
又∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18，
∴OA=6，
∴AC===12，
∴cosC===；
故答案为：；

（2）∵cosC=，
∴∠C=30°，
∵tan∠ABO===，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B时，如图1，△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AB2=42：122=1：9．
②当∠AMN=∠C时，如图2，△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AC2=42：（12）2=1：27．
故答案为：1：9或1：27；

（3）可以求得：S△ABC=AO•BC=×6×12=36．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴S△AMN：S△ABC=MN2：BC2．
∴S△AMN：36=x2：122．
∴S△AMN=x2．
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵将△AMN沿MN折叠，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴MF=MN=AM=x．
∴S△FMN：S△AMN=MF：AM．
∴y：x2=x：x=1：2．
∴y=x2（0＜x≤6）；
②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），
∵MN∥BC，
∴CN：AC=BM：AB．
∴CN：12=（12-x）：12，
∴CN=12-x．
∵△CNG∽△CBA，
∴S△CNG：S△ABC=CN2：BC2．
∴S△CNG：36=（12-x）2：122．
∴S△CNG=（12-x）2．
∴S阴=S△ABC-S△AMN-S△CNG=36-x2-（12-x）2．
即y=-x2+18x-72（6＜x＜12）．