Question

如图，已知抛物线的顶点坐标是（2，-1），且经过点A（5，8）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴任一点，连接AP、BP．试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标．

Answer

（1）利用顶点式将顶点坐标（2，-1）代入，进而求出a的值即可；
（2）利用图象与坐标轴交点求法，分别求出即可；
（3）首先利用B点对称点B′（0，-3），连接AB′交x轴于点P，利用轴对称得出AP+BP的最小值为线段AB′进而利用待定系数法求出解析式，即可得出P点坐标．
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
∵抛物线经过A（5，8），∴8=a（5-2）2-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）2-1（或y=x2-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B （0，3 ）
令y=0得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
进而得出（1，0 ），D （3，0 ）；

（3）取点B关于x轴的对称点B′（0，-3），连接AB′交x轴于点P．
则PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′为直线段，∴AP+BP的最小值为线段AB′．
设直线AB′的解析式为y=kx+b过点A（5，8）和B′（0，-3），
∴，
解得：，得AB′的解析式为：，
当y=0时，，
∴点P的坐标为（，0）．