Question

直线分别与x，y轴交点为C，A，BC=AC，AE平分∠CAO，OD平分∠AOC交AE于点D，连接BD交y轴于点F，点P从点B出发沿线段BC匀速运动，速度为5单位/秒，同时点Q从点C出发沿线段CA匀速运动，速度为5单位/秒，设点P，Q的运动时间为t秒．
（1）求线段BE的长．
（2）若△PEQ的面积为S，在点P，Q的运动过程中，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围．

Answer

（1）分别把x=0和y=0代入一次函数解析式，求出OA、OC值，求出AC、BC，得出OB的值，根据角平分线性质求出OE，即可求出BE；
（2）过Q作QM⊥OC于M，分为两种情况：当P在BE上时，求出QM，根据三角形的面积公式求出即可；当P在CE上时，根据三角形的面积公式求出即可．
【解析】
（1）∵，
∴当x=0时，y=6，
当y=0时，x=8，
∴A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OC=8，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==10，
∵BC=AC，
∴OB=10-8=2，
∴B（-2，0），
∵AE平分∠CAO，
∴=，
∴=，
∴OE=3，
∴BE=2+3=5．
答：BE长是5；

（2）过Q作QM⊥OC于M，
根据题意得：CQ=5t，
∵sin∠ACB===，
∴QM=3t，
当P在线段BE上时，即0＜t＜1，S△PQE=×PE×QM=×（5-5t）×3t=-t2+t；
当P在EC上时，即1＜t≤2，S=×PE×QM=×（5t-5）×3t=t2-t；
综合上述：S与t的函数关系式是：．