Question

等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．

Answer

（1）如图1，根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；
（2）如图2，根据（1）可知D的位置对△CAE≌△BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同．
证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；

（2）CE+CD=AB；
理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．