Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，点B的坐标为（m，-2），tan∠AOC=．
（1）求反比例函数、一次函数的解析式；
（2）求三角形ABO的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

Answer

（1）过A作AE⊥x轴于E，由tan∠AOE=，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（2）根据一次函数解析式算出D点坐标，可以得到OD的长，S△AOB=S△AOD+S△BOD，代入相应数值可得答案；
（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，∠PDC和∠ODC是公共角，∠PCD=∠COD=90°，所以有△PDC∽△CDO，=而点C、D分别是一次函数y=x-1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（ ，0）、D（0，-1）．OC=，OD=1，DC=进而可求出PD=，OP=．写出点P的坐标．
【解析】
（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=，
∴OE=3AE，
∵OA=，由勾股定理得：OE2+AE2=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上y=上，
∴1=，
∴k=3，
∴双曲线的解析式y=；
∵B（m，-2）在双曲y=上，
∴-2=，
解得：m=-，
∴B的坐标是（-，-2），
代入一次函数的解析式得：，
解得：，
则一次函数的解析式为：y=x-1；

（2）连接BO，
∵一次函数的解析式为：y=x-1；
∴D（0，-1），
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×DO×3+×DO×=×1×3+×1×=；

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=，OD=1，
∴DC=．
∵△PDC∽△CDO，
∴=，
∴PD=，
又∵OP=DP-OD=-1=，
∴P点坐标为（0，）．