Question

已知：如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADE=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）首先由等腰三角形的性质，可得∠OAD=∠ODA，易证得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切线；
（2）根据阴影部分的面积等于扇形面积减去等边△OAB的面积求解即可．
（1）证明：连接OD，
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代换），
∴DO∥MN（内错角相等，两直线平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
过点O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB==，
∴AF=1；
∴OF=，
∴S阴影=S扇形-S△OAB=-×2×=π-．