Question

如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．
（1）求月牙形公园的面积；
（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．

Answer

（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE，得出等边三角形DPQ和等边三角形DPQ，得出∠PQD=∠EQP=60°，根据相交两圆的性质得出DE⊥PQ，求出FQ和DF的值，求出DE，分别求出扇形DQE的面积和三角形DEQ的面积，即可求出弓形DPE的面积，根据圆的面积和弓形的面积求出答案即可；
（2）根据∠ACB=90°得出AB是圆的直径，是2km，要使三角形ABC的面积最大得出只要高CN最大即可，得出CN的最大值是CP（P和N重合，CN最大），代入求出即可．
【解析】
（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE．

由已知PD=PQ=DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
∴∠DQP=60°．
同理∠EQP=60°．
∴∠DQE=120°，
∵⊙P和⊙Q交于D、E，
∴QP⊥DE，DF=EF，
∵△DPQ是等边三角形，
∴∠QDE=30°，
∴FQ=DQ=1，
由勾股定理得：DF==EF，
即ED=2，
S弓形DPE=S扇形QDE-S△DQE
=-×2×1
=-，
故月牙形公园的面积=4π-2（π-）=（π﹢2）km2．
答：月牙形公园的面积为（π﹢2）km2．

（2）∵∠C=90°，
∴AB是⊙P的直径，
过点C作CN⊥AB于点N，S△ABC=CN•AB，
∵AB=4km，
∴S△ABC的面积取最大值就是CN长度取最大值，即CN=CP=2km，
S△ABC的面积最大值等于4km2，
故场地的最大面积为4km2．