Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE=DF；
（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB=，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer

（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．
（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论．
（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．
②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．
【解析】
（1）如图1，
证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．
∵AM=DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE=DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3 ）①当C、G重合时，如图4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMC=90°，
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE=
∴＜AE≤．
②△GEF是等边三角形．
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
又∵∠A=∠GHM=90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．在Rt△GME中，
∴tan∠MEG==．
∴∠MEG=60°．
由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴△GEF是等边三角形．