Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=-x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线y=ax²+bx+c和直线y=-x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法将A，B，C三点代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的长进而得出F点的坐标，再分两种情况：①当点M在射线ND上时，∠MON=75°，②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°，分别得出M点的坐标即可；
（3）分别根据①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q点的坐标即可．
（1）【解析】
由题意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程组得：
，解得 ．
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3．  
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，4）．

（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4．∴OF=OE+EF=1+4．
∴F点的坐标为（，0）．
设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F（，0）
代入求得 ．
分两种情况：①当点M在射线ND上时，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直线OM的解析式为y=x．
∴点M的坐标为方程组．的解，解方程组得，．
∴点M的坐标为（，）．
②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（，）．

方法（二）①M在射线ND上，过点M作MP⊥x轴于点P，
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4．∴OF=OE﹢EF=1+4．
∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=，
∴=．
∴OP=2﹢．∴MP=6﹢．
∴M点坐标为（2﹢、6﹢），
②M在射线NF上，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（，）．

（3）有两种情况①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如图2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以点P、B的纵坐标相同都是3．
因为点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=-2．
由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q点的坐标为（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如图3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
点P在抛物线上，∴点P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．
∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=OF=．
∴Q点的横坐标-．∵Q点在y=-x上，∴把x=-代入y=-x得y=．∴Q点的坐标为（-，）．
综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（-2，2），（-，）．