Question

如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则①DC′平分∠BDE；②BC长为（+2）a；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．则上述命题中正确是    （填序号）；

Answer

根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，根据折叠的性质得∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，则∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可计算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判断DC′不平分∠BDE；易得AC=AD+DC=a+a，利用BC=AC可得到BC长为（+2）a；由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；计算△CED的周长为DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，则有△CED的周长等于BC的长．
【解析】
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，
∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，
∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，DC=a，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，
∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，
∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；
∵AC=AD+DC=a+a，
∴BC=AC=（a+a）=（+2）a，所以②正确；
∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，
∴△B C′D是等腰三角形，所以③正确；
∵△CED的周长=DE+EC+DC=a+a+a=（+2）a，
∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确．
故答案为②③④．