Question

△ABC中，AC=BC．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G．直线DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果BC=10，AB=12，求CG的长．

Answer

根据题意做出辅助线连接OD，CD，BG，（1）由圆周角定理和垂直的性质推出∠BDC=∠AFD=90°，再由等腰三角形的性质推出∠A=∠ABC，根据余角的性质即可推出∠BCD=∠ADF，由∠ADF=∠EDB，OC=OD，推出∠BCD=∠ODC，通过等量代换即可推出∠EDB+∠BDO=90°，即OD⊥EF，从而推出EF与⊙O相切，（2）由BG⊥AC，∠A=∠ABC，推出△ABG∽△BCD，求得比例式，根据OD⊥EF，AC⊥EF，推出OD∥AC，根据平行线等分线段定理推出BD=AD后，结合已知即可求出BD=AD=6，由AC=BC=10，即可求出AG=7.2，结合图形即可推出CG=AC-AG=10-7.2=2.8．
【解析】
如图，连接OD，CD，BG，
（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BCD=∠ADF，
∵∠ADF=∠EDB，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠EDB，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
即∠EDO=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF与⊙O相切，

（2）∵BC为⊙O的直径，
∴BG⊥AC，
∵∠A=∠ABC，
∴△ABG∽△BCD，
∴，
∵OD⊥EF，AC⊥EF，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴BD=AD，
∵AB=12，
∴BD=AD=6，
∵BC=10，
∴AC=BC=10，
∴，
∴AG=7.2，
∴CG=AC-AG=10-7.2=2.8．