Question

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

Answer

（1）此题只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；
（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；
（3）此题只需补全图形后由图形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
【解析】
（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．

（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

（3）补全图形如下图：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．