Question

如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．
（1）当AE=6时，求AF的长；
（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；
（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

Answer

（1）欲求AF的长可先求CF长．知道BD、，能求BE、CD，再证△BDE∽△CFD即可；
（2）（3）求BE的长关键弄清圆与圆位置关系、线与线位置关系，再运用圆心距与半径关系容易解答．
【解析】
（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∴△CDF∽△BED．（1分）
∴．
即．（1分）
∴CF=8．
∴AF=AC-CF=10-8=2．（1分）

（2）分外切和内切两种情况考虑：
当⊙C和⊙A外切时，点F在线段CA上，且AF=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CF．（1分）
∵，
∴．
即BE2=BD•CD=4×8=32，
∴．（1分）
当⊙C和⊙A内切时，点F在线段CA延长线上，且AF=AE，
∴BE=AB-AE=10-AE，CF=AC+AF=10+AE．（1分）
∵，，（1分）
解得，
∴．（1分）
∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为或．

（3）取边AC中点O，过点O分别作OG⊥DE，OQ⊥BC，垂足分别为G、Q；
过点A作AH⊥BC，垂足为H．（1分）
∵⊙O和线段DE相切，
∴．
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，，
在Rt△CQO中，∠CQO=90°，
∵，
∴．
∴DQ=8-3=5．
∴OG=DQ．（1分）
∵OD=DO，
∴Rt△OGD≌Rt△DQO．
∴∠GOD=∠QDO．
∴OG∥BC．
∴∠EDB=∠OGD=90°．（1分）
∴．
∴．（3分）
∴当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，．