Question

如图，边长为4的正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的动点（不与点O，A重合），EP⊥CE，且EP交正方形外角的平分线AP于点P．
（1）如图1，当点E是边的中点OA时，证明CE=EP；
（2）如图1，当点E是OA边的中点时，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，当点E是OA边上的任意一点时（点E不与点O，A重合），设点E坐标为E（t，0）（0＜t＜4），探究CE=EP是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

Answer

（1）过P作PH垂直于x轴，交x轴于点H，再由CO与OE垂直，利用垂直的定义得到一对直角相等，由CE与EP垂直，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，而直角三角形OCE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形OCE与三角形PHE相似，由相似得比例，将各自的值代入得到关于HP的方程，求出方程的解得到HP的值，在直角三角形OCE与直角三角形EPH中，分别利用勾股定理求出CE与EP，即可判断得到CE=EP；
（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形，理由为：过B作BM平行于PE，由CE与EP垂直，利用和平行线中一条直线垂直，与另一条直线也垂直得到CE与BM垂直，利用同角的余角相等可得出∠OCE=∠CBM，再加上BC=CO，及一对直角相等，利用ASA可得出△BCM≌△COE，得出BM=CE，而EP=CE，可得出EP=BM，可得出四边形BMEP为平行四边形，由全等得到CM=OE=2，求出OM的长即可确定出M的坐标；
（3）CE=EP，理由与（1）同理．

【解析】
（1）证明：过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则∠PHE=∠EOC=90°，
∵AP为∠BAH的平分线，
∴∠PAH=45°，
∴△APH为等腰直角三角形，
∴AH=HP，
∵EP⊥CE，∴∠CEP=90°，
∴∠CEO+∠HEP=90°，
又∵∠OCE+∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠HEP，
∴△COE∽△EHP，
∴=，
由题意知：OE=EA=2，EH=EA+AH=2+HP，
∴=，
∴HP=2，
∴EH=4，
在Rt△COE和Rt△EHP中，
CE==2，EP==2，
则CE=HP；
（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形，
过点B作BM∥EP交y轴于点M，
∵EP⊥CE，
∴BM⊥CE，
∴∠OCE+∠CMB=90°，∠CBM+∠CMB=90°，
∴∠OCE=∠CBM，
在△BCM和△COE中，
∠OCE=∠CBM，BC=CO，∠BCM=∠COE=90°，
∴△BCM≌△COE，
∴BM=CE，又CE=EP，
∴BM=EP，
又BM∥EP，
∴四边形BMEP是平行四边形，
∵△BCM≌△COE，
∴CM=OE=2，
∴OM=2，
∴点M的坐标为M（0，2）；
（3）CE=EP，理由为：
证明：过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则∠PHE=∠EOC=90°，AH=HP，
∵AP为∠BAH的平分线，
∴∠PAH=45°，
∴△APH为等腰直角三角形，
∴AH=HP，
∵EP⊥CE，
∴∠CEP=90°，
∴∠CEO+∠HEP=90°，
又∵∠OCE+∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠HEP，
∴△COE∽△EHP，
∴=，
由题意知：OE=t，EH=EA+AH=4-t+HP，
∴=，
∴4HP=t（4-t+HP），
∴（4-t）HP=（4-t）t，
∵点E不与点O，A重合，
∴4-t≠0，
∴HP=t，EH=4-t+HP=4，
在Rt△COE和Rt△EHP中，
CE==，EP==，
则CE=EP．