Question

如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，则 的值为（ ）

A．2
B．4
C．
D．

Answer

首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．
【解析】
过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，
∴DN：CM=1：4，
设DN=x，
则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x，
∴BM=x，GM=3x，
在Rt△CGN中，NG==x，
在Rt△MNG中，MN==2x，
∴=2．
故选D．