Question

如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为    ，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于    °．

Answer

由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到△AOB的面积的最大值=×4×3=6，
同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
【解析】
∵AB为⊙M的直径，
∴AB=4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值=×4×3=6，
∠AMO=90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为6，90．