Question

已知：k，m为实数，且k＜-1，关于x的方程x²+（2k+m）x+（k²+km）=0有两个相等的实数根．抛物线y=2x²-（6m+4）x+2k+2与直线y=kx的交点分别为A点，B点，与y轴的交点为C，顶点为D．
（1）求m的值；
（2）求D点的坐标；
（3）若S_△ABD=2S_△ABC，求k的值．

Answer

（1）一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式等于0，据此求解．
（2）将（1）得到的m值代入抛物线的解析式中，进行配方后能得到顶点D的坐标．
（3）首先画出对应的图形，若S△ABD=2S△ABC，那么对于两个同底不等高的三角形来说，它们的高的比等于1：2，过C、D作直线AB的垂线，通过构建相似三角形求出DE的长，由此求得k的值．
【解析】
（1）∵关于x的方程x2+（2k+m）x+（k2+km）=0有两个相等的实数根，
∴△=（2k+m）2-4（k2+km）=m2=0．
∴m=0．

（2）当m=0时，抛物线的解析式为y=2x2-4x+2k+2．
它的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为D（1，2k）．

（3）∵k＜-1，
∴2k+2＜0，点C（0，2k+2）在y轴的负半轴上．
设抛物线的对称轴与直线AB的交点为E点，
则E点的坐标为E（1，k）．
作CG⊥AB于G点，DH⊥AB于H点．（如图）
∵S△ABD=2S△ABC，
∴DH=2CG．
∵抛物线的对称轴与y轴平行，
∴∠COG=∠DEH．
∴sin∠COG=sin∠DEH．
可得  DE=2CO．
∴-k=-2（2k+2）．
解得 k=-．