Question

如图，在某海域内有三个港口P、M、N．港口M在港口P的南偏东60°的方向上，港口N在港口M的正西方向上，P、M两港口相距20海里，P、N两港口相距10海里．求：
（1）港口N在港口P的什么方向上？请说明理由；
（2）M、N两港口的距离（结果保留根号）．

Answer

（1）在Rt△PQM中，由∠MPQ=60°可知∠PMQ=30°，再根据PM=20海里，可知PQ=PM=10海里，在Rt△PQN中，利用锐角三角函数的定义即可得出∠QPN的度数；
（2）由（1）可知Rt△PQM为等腰直角三角形，故NQ=PQ，在Rt△PQM中，利用MQ=PQ•tan∠QPM可求出MQ的长，再由MN=MQ-NQ即可得出结论．
【解析】
（1）在Rt△PQM中，
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMQ=30°，
又∵PM=20，
∴PQ=PM=10（海里），
在Rt△PQN中，cos∠QPN===，
∴∠QPN=45°．
答：港口N在港口P的东南方向（或南偏东45°）；

（2）由（1）可知Rt△PQM为等腰直角三角形，
∴NQ=PQ=10（海里），
在Rt△PQM中，
∵MQ=PQ•tan∠QPM=10×tan60°=10（海里），
∴MN=MQ-NQ=（10-10）海里．
答：M、N两港口的距离为（10-10）海里．