Question

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．

（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer

（1）利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积．
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
②本题要分两种情况解答（0≤x＜以及2）．
【解析】
如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G为AB中点
∴GM=（1分）
又∵G，F分别为AB，AC的中点
∴GF=BC=2（2分）
∴S梯形DEFG=（2）×=6
∴等腰梯形DEFG的面积为6 （3分）

（2）①能为菱形（4分）
如图

由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形（6分）
当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形（8分）
②分两种情况
1、当0≤x＜时，
方法一：∵GM=，∴S▱BDG′G=
∴重叠部分的面积为y=6-
∴当0≤x＜时，y与x的关系式为y=6-（10分）
方法二：当0≤x＜时，
∵FG′=2-x，DC=4-x，GM=
∴重叠部分的面积为y=（10分）
2、当2时，

设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°
∴∠CPD=90°，PC=PD
作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=
∴重叠部分的面积为y=××（4-x）=x2-2x+8   （12分）