Question

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

Answer

（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2-m，AD=4-m，从而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；
（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点时，求解即可．
【解析】
（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴点D的坐标为（2，4-m）．

（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m2=（4-m）2，解得；
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=AD=（4-m）
又∵OP=AF，
∴
则
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4-m），
∵PC2+CM2=PM2，
∴，
解得（舍去）．
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或．

（3）点H所经过的路径长为
理由是：∵P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），
∴0≤m＜2，
当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y=-x2+3x，
此时ME的解析式为y=-x+3，则∠MEO=45°，
又∵OH⊥EM，
∴△OHE为等腰直角三角形，
∴点O、H、B三点共线，
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧的长度，
∵∠COH=45°，OM=，
则弧长==π．