Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y₁=ax²+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．
（1）求：二次函数y₁的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线y₁以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y₂，已知二次函数y₂与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数y₁的图象上时，求OP的长．
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值．

Answer

（1）利用二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），分别代入求出a，c的值即可；
（2）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分别利用当点F、点N重合时，当点F、点Q重合时，当点P、点N重合时，当点P、点Q重合时，求出t的值即可．
【解析】
（1）∵二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），
∴将（0，0），代入得出：
c=0，
将（1，2）代入得出：
a+3=2，
解得：a=-1，
故二次函数解析式为：y1=-x2+3x，
∵图象与x轴相交于另一点B，
∴0=-x2+3x，
解得：x=0或3，
则B（3，0）；

（2）①由已知可得C（6，0）
如图：过A点作AH⊥x轴于H点，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴=，
即=，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函数y1=-x2+3x的图象上，
∴a=；
即OP=．

②如图1：

当点F、点N重合时，有OF+CN=6，
∵直线AO过点（1，2），
故直线解析式为：y=2x，
当OP=t，
则AP=2t，
∵直线AC过点（1，2），（6，0），
代入y=ax+b，
，
解得：，
故直线AC的解析式为：y=-x+，
∵当OP=t，QC=2t，
∴QO=6-2t，
∴GQ=-（6-2t）+=t，
即NQ=t，
∴OP+PN+NQ+QC=6，
则有3t+2t+t=6，
解得：t=；
如图2：

当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有3t+2t=6，
解得：t=；
如图3：

当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有t+2t+t=6，
解得：t=，
如图4：

当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有t+2t=6，
解得：t=2．
故此刻t的值为：t1=，t2=，t3=，t4=2．